通过将矩阵化作行最简式求矩阵的逆，当对矩阵作过行交换后，得出的逆矩阵还是原矩阵的逆矩阵吗

Question

波波老师，视频里的求解方法懂了，但是有个问题，就是"通过将矩阵化作行最简式求矩阵的逆，当对矩阵作过行交换后，得出的逆矩阵还是原矩阵的逆矩阵吗"，希望回答一下哈：）

Answer 1

liuyubobobo 2019-02-22 02:39:19

不影响。

这是因为行交换是一个基本行操作。对单位矩阵进行行交换，得到的结果是一个初等矩阵。

我们的这个求解矩阵的逆的方法的实质，是这个矩阵要能转换成一系列初等矩阵的乘积（也就是能通过单位矩阵进行一系列基本行变换变成这个矩阵）。由于初等矩阵都是可逆的，那么这个矩阵一定可逆。而对单位矩阵交换两行的位置，得到的是初等矩阵之一，所以没有问题，我们可以对A进行行交换这个操作：）

可以举一个例子试试看。比如对

[[0  2]
 [1  0]]

对这个矩阵，使用这个方法求解它的逆，一定要经历行变换：）过程如下：

1）制作 [A I]

[[0  2 | 1  0 ]
 [1  0 | 0  1 ]]

2）第一行找不到首元，就要进行行交换

[[1  0 | 0  1 ]
 [0  2 | 1  0 ]]

3）第一行处理完了，第二行乘以0.5即可

[[1  0 | 0  1 ]
 [0  1 | 0.5  0 ]]

4）以上过程已经将A化为单位矩阵了，结束。

以下矩阵就是原矩阵的逆，测试一下试试看？：）

[[0  1]
 [0.5  0]]

继续加油！：）