bobo老师，关于矩阵的QR分解

Question

A = QR
这里能对Q的列向量进行Gram-Schmidt算法，是因为A在这里假设了是方阵吧？
如果A是方阵，那么A的列向量才可以看成是某个空间的基；如果A不是方阵，虽然A的列向量线性无关，但它们不一定是某个空间的基了吧？

Answer 1

liuyubobobo 2019-12-26 18:43:25

虽然课程中介绍的 Gram-Schmidt 是基于方阵的，但是其实，对于任何一个 m * n 的矩阵（m >= n），只要 n 个列向量线性无关，都可以使用 Gram-Schmidt 法则找到一个 Q。

非常简单，在 m != n 的情况下，A 有 n 列。因为 A 有 m 行，所以我们要找的 Q 是一个 m 维空间的标准正交基。首先，我们可以通过 Gram-Schmidt 法则，找到这组基的 n 个轴，剩下的 m - n 个轴，一定和当前的这 n 个已知的轴。这样，其实剩下的每一个轴，都有两个方向（互相相反的），随便选一个方向即可。

可以想象：如果在三维空间中，如果我们已知两个轴，可以很容易地求出第三个轴。

因此，QR 可以作用在非方阵 A 上。

继续加油！：）

• 提问者 摇了摇头摇了摇头 #1

  也就是先用Gram-Schmidt先把n维空间的标准正交基找出来，然后我们再对这组基加一些向量，让它们变成m维空间的基，可以这样理解嘛。
  方阵是一种特殊情况，方阵可以直接找到这个空间的基。
  所以当A不是方阵的时候，A的列向量虽然线性无关，但是不一定是空间的基的。
  
  老师。。我上面三句话没说错吧，感觉线代每个知识点的联系太紧密了，我有点混乱T T

• 提问者 摇了摇头摇了摇头 #2

  不对呀。。在引入子空间以后，是不是可以说任意一组线性无关的向量都是某个空间的基呢？

• liuyubobobo 回复 提问者 摇了摇头摇了摇头 #3

  上面说的没问题。线性无关不意味着是基，比如(1, 0, 0) 和 (0, 1, 0) 线性无关，但这两个向量不是三维空间的基。再回顾一下空间的基的定义和相关推论？加油！：）

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