老师，想问线性相关两个等价定义的问题。

Question

有非零解使得列向量的线性组合为0与部分行向量可用其它行向量的线性表达，这两个都能说明线性相关的情况与同一个矩阵的行向量和列向量有什么关系吗？

Answer 1

liuyubobobo 2018-12-29 14:15:52

我可能没有特别理解你的问题。

你所叙述的两个条件，其实都与行向量和列向量没有关系。行向量与列项量，都是在矩阵中才存在的概念。只是从矩阵中取出向量的方式而已，一行一行的取，还是一列一列的取。

你所叙述的两个条件，其实都和矩阵没有关系，都在向量组中直接成立。

1. 存在一组不全为0的k，使得向量组的线性组合为0;

2. 一组向量中，其中一个向量可以用其他向量线性表示。

对于1，可以说：如果对于一个矩阵A，Ax=0不仅有零解，则A的列向量线性相关。此时，这个叙述中要强调列向量，是因为针对一个矩阵A来说的。此时，我们不能保证A的行向量线性无关：）

关于行向量，列向量，也可以参考这里：https://coding.imooc.com/learn/questiondetail/87821.html

加油！：）

• 提问者 Jazz_Qi #1

  老师，我感觉我有点混乱了，我想再问一下：
  假如当矩阵是列向量为基的时候，行向量就是各个基的同一维度上的分量。
  那么行向量之间可以线性表示，意味着各个基的不同分量(不同一维度上)共线吗？
  而列向量的线性组合为0有非零解的时候，就像各个基放大缩小后首尾相连回到0向量？
  感觉有共线和指向零好像都实际上都是矩阵维度＞内在有信息的维度。线性相关与共线的关系与区别是什么呢？
  
  烦请请老师帮我看看我的问题出在哪里？

• liuyubobobo 回复 提问者 Jazz_Qi #2

  “各个基的不同分量(不同一维度上)共线”这句话阐述有问题。每个基的每个分量是一个数，各个基的不同分量是一组数。一组数是没有共线不共线的。（或者我没有理解你想表达的意思？）关于行向量和列向量，不要思考“如果列向量如何如何，行向量就会如何”这样的逻辑关系。我们关于向量组的所有性质，都是对一组向量说的。放到矩阵中，只是这些向量怎么码放而已。怎么码放，关系到我们对应矩阵怎么操作（矩阵乘法，或者高斯消元法，等等）。我们没有学过任何一个性质，是“如果列向量如何如何，行向量就会如何”这样的关系：）

• liuyubobobo 回复 提问者 Jazz_Qi #3

  线性相关与“共线”是一回事儿。不过在高维空间，不一定是共线，而应该广义的讲，叫“共体”。比如三个三维向量线性相关，他们不一定共线，但是这三个三维向量一定共面。同样，四个思维向量线性相关，他们不一定共面，但是这四个四维向量一定共体。以此类推。感觉“共体”和“指向零”好像都实际上都是矩阵维度＞内在有信息的维度。非常赞！

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