为什么老师只讲矩阵行变换而不提列变换呢？

Question

记得本科线代课里讲矩阵的“初等变换”时，除了“初等行变换”还有“初等列变换”；虽然比较少提列变换，但当时好像是用列变换来求的列秩。BOBO老师好像有意避开了列变换的讲法，全都是用行变换的视角来探讨矩阵各种性质的，想问问老师为啥这样做呢？

P.S BOBO老师线代课讲的超棒，收获甚大！

Answer 1

liuyubobobo 2022-03-29 17:04:07

也没有“有意”避开，但整个课程讲出来，确实发现没有列变换什么事情。我想有以下原因：

1）你提到的应用，单独地求列秩这个概念，其实意义不大。因为行秩就是列秩，其实求矩阵行秩的过程，就是在求矩阵的列秩。我猛地并没有想到有什么情况，是使用矩阵的列变换更方便的。或许如果做成考题，我们可以“巧妙地”安排矩阵中的数字，使得做列变化的计算比做行变换更简单，但是这种“计算技巧”不是这个课程的重点（甚至在我看来，不应该是任何课程的重点，或许绝对了）；也和深入理解线性代数关系不大；在计算机计算面前，更是不值一提；

2）一般介绍矩阵的初等变换，都是从行变换入手，原因很简单，行变换的“意义”更加直接一些：每一行对应了线性方程组中一个方程里系数的变换。用行变换理解是更容易的；

3）当然，用列视角看矩阵也很有意义，比如把矩阵当做空间的时候，通常矩阵的每一列表示空间的一个轴，但此时，我们也已经建立起了线性相关线性无关的概念，对于矩阵的列视角，这个概念才是至关重要的（即空间中的轴是否本质是一样的）。

比如

A = [1, 2]   B = [1, 2]
    [3, 6]       [3, 7]

不需要“初等列变换的概念”，我们马上就能看出来，A 的两个列是线性相关的，B 的两个列是线性无关的。所以 A 不能描述一个二维空间，而 B 可以。

在列空间这个视角里，看线性相关或者线性无关，其中的计算是非常容易的，而其实，这背后的计算，本质就是在做“初等列变换”。可是由于这个计算太容易了，我们甚至不需要引入“初等列变换”这个概念，只靠线性相关和线性无关的概念，就足够了。（当然，在这一点上，我们一行一行的看也很容易。另外，如果矩阵大了，看起来就复杂了，但是这个复杂的根源不是计算变复杂了，而是元素变多了。）

暂时想到这么多。

不过我同意，从线性代数的“体系”的角度，应该介绍一下“初等列变换”这个概念的：）

感谢提醒，继续加油！：）

• 提问者 正版鲜人 #1

  谢谢BOBO老师！本科的线代课大量内容都是在讲各种计算技巧，以至于学完之后，好像主要也就学会了计算行列式和解线性方程组，矩阵的逆、秩之类的概念基本停留在“算数”的层次，您的课程对我最大的帮助在于补充了我对于“空间”相关知识的理解。国内多数非数学系的线代课程都对抽象的“空间”知识一笔带过，甚至还不如高等数学课里讲得多，但线性代数中的空间/变换视角对于领会线性代数的精髓以及如何在具体学科应用线性代数有非常大的帮助。