关于行空间和列空间

Question

老师我这里有点没想明白：

之前的几课，我看行空间都是将几个向量横着摆放，构成行空间
到了列空间就竖着摆放，构成列空间。
但是这个矩阵已经是按照横着的方向摆放了，应该只能按照行空间的角度去观察呀。为什么，这里还可以竖着看呢？
竖着看应该是看列秩呀，但是现在没化简，也看不出列秩呀。

我是哪里想岔了吗？

Answer 1

liuyubobobo 2022-06-12 06:48:42

矩阵的行空间和列空间的秩是一致的，并不是一个很显然的结论，所以需要证明。这一小节一开头，就是在证明这件事情。

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你的截图里，按照列看，因为前两列一致，所以肯定线性相关，所以秩肯定不是 3。同时 （1， 2， 3） 和 （2， 3， 4）肯定线性无关，因为两个向量如果线性相关，一个详列一定是另一个向量的常数倍。这两个向量显然没有这样的关系，所以通过列可以直接看出来列秩为 2。又因为行秩等于列秩，所以行秩也肯定为 2。整个矩阵的秩就是 2。

继续加油！：）

• 提问者 code_bean #1

  非常感谢！

• 提问者 code_bean #2

  老师我之前是想反了（把原向量和矩阵的关系想反了）
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  如果是列视角对应的就是列空间，组成矩阵的原向量就是（1 2 3）（1 2 3）（2 3 4）
  如果是行视角对应的就是行空间，组成矩阵的原向量就是  (1 1 2)     (2 2 3)   （3 3 4）
  也就是能得到两个线性系统，而分别对这两个不同的线性系统分析，可以得到相同的结论。
  那么就可以先针对简单的那一个进行分析。
  老师可以这样理解吗？

• liuyubobobo 回复 提问者 code_bean #3

  此时用线性系统的视角绕弯子了（且我不很确定你的理解一定准确）。更严格的说，行空间是由 (1 1 2) (2 2 3) （3 3 4）生成的空间；列空间是由 （1 2 3）（1 2 3）（2 3 4）生成的空间。这两个空间的维度一定一样（这就是行秩等于列秩的意思）。所以可以从简单的那个去分析。

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