关于定理一的疑问

Question

在本节正式讲样本均值和样本方差分布的四大定理之前，讲到两个结论：
1、当总体的均值和方差均存在时，则样本均值的期望就是总体的均值μ，样本的方差就是σ2/n
2、中心极限定理：当抽样次数足够多时，样本均值服从正态分布

且总体无论服从什么样的分布，以上两个结论均成立

那么，课程中的定理一——X1、X2…Xn是服从N(μ, σ2)的总体的一个样本，其均值服从N(μ, σ2/n)——这一定理，把“服从N(μ, σ2)的总体”几个字拿掉是否依然成立？即是否可以理解为总体无论服从什么样的分布，样本均值均服从N(μ, σ2/n)？

另外，定理二到定理四，若样本同样不是来自服从N(μ, σ2)的总体，这几个定理是否依然成立？

简单来问，就是这四个定理，有哪几个必须要在总体是正态总体的前提下才成立，而哪几个不需要在总体是正态总体的前提下就能成立？

谢谢(￣▽￣)"

Answer 1

Angelayuan 2019-09-20 00:10:18

你好，非常好的问题。

1. 跟"样本均值"有关的定理, 在样本容量较大的时候(比如n > 30), 不需要正态总体这个前提也成立。在样本容量较小的时候, 需要正态总体这个前提。

2. 跟"样本方差"有关的定理, 只在正态总体这个前提下成立。

在8-11小节，我补充讲解了各种检验的前提条件(每个检验背后都有相对应的第六章讲到的定理在支撑)，你可以看一下儿。

• 提问者 神羅ten徵 #1

  非常感谢！

• 提问者 神羅ten徵 #2

  谢谢老师。根据您的解答，后来查阅了课本才知道，有限个服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，而不服从正态分布的随机变量，其样本容量必须要足够大，其均值才服从正态分布。再次表示感谢！