不太理解这个描述

Question

不知道我理解的对不对，上图是不是在说这么一件事：
如一组向量属于空间V（V是一个n维空间），则这组向量生成的空间是n维空间的子空间？
如果是这个意思的话
例如，一组3维向量属于n维空间，则这组3维向量生成的空间一定是n维空间的子空间
但这样说，我觉得有问题
一组3维向量可以属于3维空间，也可以能属于2维子空间
那么也可说，一组3维向量属于2维空间，那么这组向量生成的空间一定是2维空间的子空间？但这组3维向量也可能生成3维空间啊

Answer 1

liuyubobobo 2023-04-12 00:48:25

你的理解是对的。

如果一组三维向量属于某个二维空间，那么是的，这组三维向量的生成空间一定是 2 维空间的子空间，这组三维向量不可能生成三维空间。（否则他们不会属于某个二维空间，只可能属于某个三维空间。）

你可以尝试举一个反例（找一组三维向量，他们属于某个二维空间，但是却能生成一个三维空间。），我们可以根据你举得具体例子再做讨论。

继续加油！：）

• 提问者 慕设计1008376 #1

  老师，我理解了。3维向量属于2维空间这句话是错的，2维空间是所有2维向量的集合。那么3维向量是不属于2维空间的。所以，ppt里的话是指：一组向量属于n维空间，则它们生成的空间一定是这个n维空间里的子空间。但，生成的子空间假设是n-1维的，并不能说该组向量属于n-1维空间。这组向量还是属于n维空间的。

• liuyubobobo 回复 提问者 慕设计1008376 #2

  no no no。
  
  一组三维向量可以属于一个二维空间。比如 (0, 1, 1) 和 (0, 3, 5) 和 (0, 7, 8)  属于一个二维空间。为了计算方便，我在这个例子里固定了 x = 0，但是还有别的形式，比如 (1, 1, 1), (2, 2, 2) 和 (3, 3, 3) （这三个三维向量甚至属于一个一维空间！）
  
  实际上，在三维空间中可以任意截取一个过原点的平面，在这个平面上找三个不共线的向量（其实两个就够），他们就属于一个二维空间。那么，这组三维向量是不可能生成整个三维空间的，只能生成他们所在的这个二维空间（再一次，虽然这个二维空间是“镶嵌”在三维空间中的，但它是一个二维空间。）
  
  btw，这就是比如 PCA 这类降维算法的一个基本原理：一组高维空间的向量，可能其实在一个低维空间（或者损失很少的信息以后，就能让他们在一个很低维的空间中）。那么我们就可以计算出这个低维空间，直接在低维空间中考虑问题。