如何证明（x-xp）向量与xp向量垂直？

Question

就是除了向量的几何意义以外，能用: X点积(X-Xpr)=0,这种公式推导的方式证明吗？

Answer 1

liuyubobobo 2019-05-11 01:18:28

这个垂直是已知条件，而不是得到的结论。

因为，我们做的是投影，所以我们要对X往w方向做垂线，得到Xpr，所以，图中的虚线部分才会和Xpr垂直。这个虚线部分就是X-Xpr。这个垂直是我们自己做出来的，而不是一个推论。我们靠这个垂直的已知条件，才能解出Xpr是谁，进而解出虚线的X-Xpr是谁。

如果你要证明X.dot(X-Xpr)==0，这本质就是在证明，两个垂直的向量，点积为零。（因为垂直式已知条件！而不是我们通过别的方式，发现它具有垂直的属性！）

对于这个问题，我的线性代数课程（https://coding.imooc.com/class/260.html）基于二维情况，出了完整证明。整体方式是先证明了u.v = |u|.|v|.cosθ，然后由于垂直的情况，cosθ=0，所以得证两个垂直向量点击为零。

继续加油！：）

• 提问者 SD_Kaden #1

  谢谢波波老师