主成分方向的问题，主成分可能有两个方向，实际应该以哪个方向为准？

Question

主成分方向的问题，主成分可能有两个方向，实际应该以哪个方向为准？，另外用协方差求特征向量作为主成分的话，还用对主成分模计算为1吗？

Answer 1

liuyubobobo 2022-03-07 02:02:34

如果你说的这两个方向的意思是可能为正可能为负的两个方向的话，这两个方向都可以，随便取一个即可。政府两个方向形成一条直线，这两直线是整个坐标轴。（比如平面坐标系中，x 轴是那条直线。我们规定了右边是正方向，左边是负方向，但如果我们规定左边是正方向，右边是负方向，是完全可以的。）

==========

从“数学量解释”的角度，不管是用什么方法得到的主成分，都可以不标准化（不把模化为1）。因为主成分表示的是一个方向。对于方向来说，模的大小没有意义。(1, 0) 和 (2, 0) 表达的是同一个方向。

但是既然我们已经确定了主成分只是方向而已，模的大小没有意义，我们通常就愿意将其标准化（将模化为 1），这样更能明确它仅仅是一个方向，同时，对于一些可能的后续计算提供方便。（比如 n 个模为 1 的互相垂直的 n 维向量组成的矩阵是标准正交矩阵，那么标准正交矩阵的很多“优美”的性质我们就可以使用。）

这个标准适用于一切数学或者物理或者使用向量的地方。如果这个向量所表征的仅仅是一个方向，就可以将其标准化，仅用一个模为 1 的向量表征方向。

继续加油！：）

• 提问者 weixin_慕少409219 #1

  嗯 如果是降维的话 确实哪个方向都可以，比如主成分分析后做回归分析；但是要是根据主成分计算指标综合得分，那么从sklearn里应该是以绝对值最大的点作为正向的方向，应该是这样，老师认可吗？但是有个实际问题，我的主成分指标有数据的记录比较少，这部分记录应该是更有价值的，其他有大部分缺失值，但是经过主成分变化计算综合得分，部分全部为缺失值的分数反而高于一些有数值的记录，那些有数值的记录都是认为比较有效的正向打分。

• 提问者 weixin_慕少409219 #2

  还有对于这个实际问题老师有什么建议？

• liuyubobobo 回复 提问者 weixin_慕少409219 #3

  “根据主成分计算指标综合得分” 这句话没有懂，什么叫根据主成分计算指标综合得分？计算什么指标的综合得分？
  
  “从sklearn里应该是以绝对值最大的点作为正向的方向”这句话也没有看懂。主成分的结果，对于 n 个维度，得到的就是 n 个方向，每个方向的模为 1。什么叫“绝对值最大的点作为正向的方向”？
  
  “我的主成分指标有数据的记录比较少”，这句话也没有懂。什么是“主成分指标有数据的记录”？
  
  但因为你后续的问题有“缺失值”这个关键字。如果你的问题都来自，你的数据本身有大量缺失值的话，解决的思路应该是如何在做具体的分析前，把缺失值处理掉。关于缺失值的处理，这里有一些简单的讨论：https://coding.imooc.com/learn/questiondetail/G4daeRY493bXnWEp.html
  
  继续加油！：）

点开查看后面1条评论