为什么m个向量线性无关，可以推出m=n？

Question

两个向量（1，1，1）、（1，1，2），这两个向量线性无关，但此时m=2，n=3，m！=n，这种理解错在哪？

Answer 1

liuyubobobo 2021-10-18 01:29:49

你具体指的课程的哪里我说的这个结论？给我一个具体的时间点？我看一下我是怎么讲的？

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在课程这一页的 ppt 中，m 是列号。我们是把 m 个向量当做矩阵的列向量。可以再仔细听一下 12：50 的课程内容。

为什么是列？请参考矩阵乘法的列视角，才形成了这 m 个向量的线性组合。

此时，若要线性无关，矩阵的行数 n 需要 n >= m。

实际上，此时，我们希望只有唯一的零解，所以 m 一定等于 n。（此时才可能有唯一解。）

继续加油！：）

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以上回答有误。下面的补充说明和截图相关讨论可以参考下面的评论。

补充一：课程中介绍的和矩阵 A 可逆的等价命题列表，都有一个大前提：A 是方阵：

补充二：这一小节在这里，我主要是想引出如下的结论：即矩阵 A 可逆和 n 个 n 维向量线性无关等价。

这个结论也有一个前提，我们讨论的是 n 个 n 维向量，即组成的矩阵 A 是方阵。

在这个条件的基础上，我们可以得到证明，简单描述如下：

1）A可逆 => n 个 n 维向量线性无关。

证明：因为 A 可逆，则 Ax = 0 只有唯一零解。根据矩阵和向量乘法的列视角，这就是这 n 个向量线性无关的定义；

2）n 个 n 维向量线性无关 => A 可逆

证明：因为 n 个 n 维向量线性无关，所以 v1k1 + v2k2 + v3k3 +... + vnkn = 0 只有所有的 k(i) = 0 这一个解，所以相当于 A * k = 0 只有零解（A 由 v 成列组成的方阵，k 由所有 ki 组成的向量），所以矩阵可逆。

具体 Ax = 0 和矩阵可逆之间的等价证明，可以参考 7-5 小节：https://coding.imooc.com/lesson/260.html#mid=18607

课程这里引出这个结论的逻辑有误。以上为更正。抱歉！

继续加油！：）

• 提问者 athief #1

  13分钟左右

• liuyubobobo 回复 提问者 athief #2

  我补充在了原回答中。

• 提问者 athief 回复 liuyubobobo #3

  线性无关，不是可以推出只有唯一的零解吗？矩阵可逆可以推出只有唯一零解，只有唯一零解可以推出矩阵可逆吗？

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