矩阵不可逆的话，列向量还是一组空间的基吗？

Question

老师您好：
PPT中，矩阵(4 2;1 3)与向量(2,2)相乘，
如果这个矩阵是不可逆的，是否可以认为这个矩阵的列向量不能组成一组空间的基？

Answer 1

liuyubobobo 2022-02-05 17:01:05

是的。如果矩阵不可逆，则这个矩阵的列向量一定不能组成空间的基。

我们不断扩充多个这个和矩阵可逆等价关系的命题组，其中的逆否命题也一定成立。

所以，因为方阵 A 可逆 <=> A 的列向量是 n 维空间的基，

就有： 方阵 A 不可逆 <=> A 的列向量一定不是 n 维空间的基。

继续加油！：）

• 提问者 射水鱼 #1

  好的，谢谢老师～～

• code_bean 回复 提问者 射水鱼 #2

  我也正想问的。看到老师的答案也豁然开朗了。
  也就说，如果无解，那么列向量一定是共线的了（不共线的话，肯定能生成空间了，仅仅针对二维空间）
  列向量共线，就会导致高斯消元的时候出现全零行，那么也就是无解了。